تاملی در باب ریاضی

واضح آرشیو وب فارسی:فان پاتوق: تاملی در باب ریاضی
چیستی ریاضیات از آن دست پرسشهایی است که ذهن بسیاری از کسانی که با ابزار ریاضی کار میکنند، سالهاست به خود مشغول کرده.زمانی که من در دبیرستان مشغول تحصیل بودم این پرسش برای من پر رنگتر از گذشته مطرح شد، اما از بخت بد اکثر معلمها در آن دوره(و بدون شک در این دوره هم) در دانشگاه مهندسی خوانده بودند و بنا بر خاصیت رشته خود بیش از هر چیز به حل مسائل هر چه سختتر(منظور تنها با اعداد نجومیتر است) گرایش داشتند؛یعنی مثلا به جای یکی در مساله ده سینوس داشته باشیم. البته صادقانه باید گفت که آنها چندان هم مقصر نبودند(در واقع بیشتر قصور داشتند تا تقصیر).جو حاکم در آموزش ریاضی بیشتر به سمت چنین نگاهی است و من هم با این یکی مقاله سعی در تغییر آن ندارم؛قصد من تنها نشان دادن یک دید جایگزین برای دانش آموزانی است که احیانا علاقه بیشتری به این پرسش دارند که چرا:«2+2=4»

ریاضیات چیست؟

ریاضیات را میتوان به اشکال گوناگون تعریف کرد.تعریف شما بستگی به نگاه شما نسبت به بنیاد ریاضیات دارد، اگر قصد ما از تعریف تنها توصیف آنچه ریاضیات شامل آن است باشد تعریفی که ویکی پدیا(دانشنامه آزاد) به ما میدهد این است:دانش بررسی فضا، ساختارها ،کمیتها و دگرگونی است.
اما من در اینجا در جستجوی تعریف توصیفی ریاضیات نیستم،بلکه خواهان دانستن «چیستی» ریاضیاتم! بگذارید پرسش را واضحتر کنم، نمیخواهم خواننده تصور کند غایت من تنها بازی با کلمات است(فکر میکنم حداقل تعهد اخلاقی ما در نوشتن مقاله وضوح است).بنابر این پرسش خودم یعنی پرسش از چیستی ریاضیات را به چند پرسش کوچکتر تحلیل میکنم.پیشاپیش خواهش میکنم از واژه ها نترسید!من تعهد میدهم این مقاله برای تمام محصلان دبیرستان قابل فهم باشد به شرط آنکه تا پایان مقاله خواند آن را رها نکنند.
پرسش اول:ما چگونه از حقایق ریاضی مطلع میشویم؟(معرفت شناسی ریاضیات)
فرض کنید ما میدانیم سینوس به توان دو و کسینوس به توان دو یک زاویه مشخص برابر یک است. اولین روزی که اثبات این قضیه را دیدید و قانع شدید که درست است را در نظر بگیرید تعدادی لکه به روی تخته یا شاید جزوه به همراه توضیح معلم یا دوست! آیا شما حقایق ریاضیات را از را حواس پنج گانه دریافت میکنید؟!! شنیدن صدای دوست و دیدن نمادهای ریاضی به روی تخته یا کاغذ؟!! فکر میکنم بسیاری از شما مخالف این دیدگاه باشید(به موافق ها هم بعدا میپردازیم!).تجربه اولیه ما از ریاضیات حکایت از نوعی یادآوری دارد.یادآوری آنچه گویی پیش آز این میدانستیم، برای درک این دیدگاه تمایز که فیلسوفان گذاشته اند به کار می آید.بعضی حقایق پیشینی هستند وبعضی دیگر پسینی! یعنی درستی بعضی را پس از مواجه با امر تجربی درک میکنیم و در بعضی به وجود تجربه نیازی نداریم.برای مثال درستی گزاره «نویسنده مقاله روشنگری چیست امانوئل کانت است» یا «گربه روی دیوار است» تنها با تحقیق تجربی مشخص خواهد شد اما درک درستی گزاره«2+2=4» نیازی به تجربه ندارد[1]. پاسخ پرسشهای ریاضی مستقل از چگو نگی تجربه است!
خوب فرض کنید تا اینجا دریافتبم که درستی قضایای ریاضی تنها به صورت ذهنی معلوم میشود. اما در اینجا پرسش دیگری بلافاصله مطرح میشود
پرسش دوم:خود اشیا ریاضی(مانند اعداد،خطوط در هندسه و...) چگونه وجود دارند؟
واضح است که قضایای ریاضی نیازمند اشیا ریاضی هستند.برای مثال قضیه فیثاغورث خود نیازمند مدلهایی مثل خط، زاویه و... است.یا قضایای حساب نیازمند اعداد. به فرض که ما درستی قضایای ریاضی را با ذهن خود کشف میکنیم، حال جای این پرسش هست که آیا حقایق ریاضی وجودی مستقل از ذهن ما دارند یا خیر؟ من در اینجا به سه پاسخ نگاهی اجمالی می اندازم
1.پاسخ افلاطون(که شاید با آن آشنا باشید) این است که اشیا ریاضی جدا از ذهن ما و در عالم مثل وجود دارد.عالم مثل عالمی است غیر مادی که ما آن را پیش از تولد درک کردیم. در واقع با دیدن شکل نوشتاری قضایای ریاضی (به روی تخته برای مثال) ما آنها را به یاد می آوریم.پس حقایق ریاضی مستقل از ذهن و عالم تجربه است.در واقع عالم تجربه تنها سایه ای از عالم مثل است.
بسیاری پاسخ افلاطون را نوعی از سر باز کردن مساله میدانند!یعنی توسل به یک عالم مجرد دیگر برای درک حقایق موجود،فیلسوفان و ریاضی دانان تمایل به ارائه پاسخهای سر راست تری دارند.تعبیر جالبی در اینجا وجود دارد به نام تیغ اُکام.اُکام معتقد بود برای درک اشیا موجود(چه تجربی و چه مجرد مثل اشیا ریاضی) نباید به تعداد آنها افزود.فیلسوفان در مواجه با پاسخهایی مثل پاسخ افلاطون میگویند که:باید با تیغ اُکام ریش افلاطون را تراشید.

2.پاسخ دیگر از آن فرگه است.او میکوشد ریاضیات را به منطق فرو کاهش دهد.همه میدانیم که منطق ماهیت پیشینی دارد و از حقایق ساده مثل قانون عدم اجتناع نقیضین(یک قضیه و نقیض آن در آن واحد درست نیست) تا ساختارهای پیچیده تشکیل شده.فرگه برای موجه ساختن پاسخش منطق جدید(همان منطق ریاضی)را پی نهاد(در زمانی که من در علامه مشغول تحصیل بودم سال اول دبیرستان درس مستقلی در این موضوع بود که نمیدانم هنوز ارائه میشود یا نه).
در اینجا این پرسش مطرح میشود که خود منطق چیست؟یعنی همه پرسشهایی که تا کنون در مورد ریاضیات کردیم در مورد منطق هم میتوان کرد!البته پیروان فرگه پاسخهایی برای پرسش ما دارند اما مشکل بزرگتر آن است که نظامی که فرگه برای تحلیل ریاضات به منطق ساخت در نهایت منجر به پارادوکس مشهور راسل شد[2]
بنابراین این پاسخ هم به شکست خورد.

3.پاسخ سوم از آن براوئر است.او حقایق ریاضی را صرفا ذهنی میدانست!یعنی یک قضیه ریاضی مثل فیثاغورث تنها زمانی درست است که ما برهانی برای درستی آن ارائه دهیم.در این نگاه به ریاضی ما دیگر با عالم از پیش تعیین شده ریاضی مواجه نیستیم!ریاضیات تنها همان است که برهان دارد بنابر این ما مجاز به استفاده از برهان خلف نیستیم. یعنی حق نداریم فرض کنیم وجود چیزی در جهان ریاضیات منجر به تناقض میشود چون اصلا چنین جهانی وجود ندارد.
با روش براوئر بسیاری از قضایای ریاضیات را نمیتوان اثبات کرد و در عوض میتوان قضایایی را اثبات کرد که نمیتوان با روشهای ریاضی سنتی به آن رسید.نکته مهم آن است که نگاه براوئر چیستی ریاضیات موجود نیست بلکه جنبه تجویزی در ساختن ریاضیات نوینی دارد که با ریاضیت سنتی تفاوت دارد.چنین توصیفی فی نفسه با هدف ما که درک چیستی ریاضیات موجود است متمایز است.

1.این تمایز ابتدا توسط کنت رواج پیدا کرده.هرچند ابداع او نیست.در مورد تمایز پیشینی و پسینی تشکیکهای بسیار عمدتا توسط کواین در قرن بیستم مطرح شده.
2.راسل خود سعی در حل این مشکل در کتاب مشهور پرینکیپا متمتیکا کرد اما موفق نشد. البته باب هیل امروزه به بازسازی پروژه فرگه پرداخته که مورد توجه فیلسوفان وریاضیدانان واقع شده.

این صفحه را در گوگل محبوب کنید

[ارسال شده از: فان پاتوق]

[مشاهده در: www.funpatogh.com]

[تعداد بازديد از اين مطلب: 516]