تانسور

واضح آرشیو وب فارسی:سایت رسیک: تانسور موجودي هندسي است كه در رياضي و فيزيك به منظور گسترش مفاهيم اسکالرها، بردارهاي هندسي و ماتريس ها به ابعاد بالاتر معرفي مي شوند. تانسورها اولين بار توسط توليو لوي چيويتا(Tullio Levi-Civita) و جورجيو ريچي-كورباسترو (Gregorio Ricci-Curbastro) ابداع شدند. در واقع كار آن ها ادامه كارهاي برنارد ريمان(Bernhard Riemann)و الوين برونو كريستوفل (Elwin Bruno Christoffel)و ديگران در حساب ديفرانسيل مطلق بود.

تانسور آرایه‌ای است از اعداد که در یک جدول چیده شده‌اند. این جدول در حالت کلی می‌تواند به صورت باشد که حروف بزرگ هر کدام می‌توانند نمایندهٔ یک عدد طبیعی باشند و نشان دهندهٔ عمل ضرب بین آنهاست. تانسور در ساده‌ترین حالت می‌تواند یک عضو داشته باشد که به آن تانسور، اسکالر گوییم. در حالت کمی پیشرفته تر تانسور می‌تواند به صورت بردار باشد. یعنی وقتی شما بردار A را به صورت(x,y,z) نشان می‌دهید در حقیقت یک تانسور دارید. در حالتی باز هم پیشرفته تر تانسور می‌تواند دو بعدی باشد (به صورت ماتریسی). یعنی مثلاً جدول ما باشد یعنی دو سطر و دو ستون داشته باشد.

چنین تانسوری دارای ۴ عضو است. به طور کلی تانسورهای دو بعدی و بالاتر از دو بعد را با نام ماتریس هم می‌شناسند. ماتریس‌ها از آن جهت مورد استفاده قرار می‌گیرند که باعث ایجاد نظم بین داده‌های یک مسئله و دسته بندی اطلاعات آن می‌شوند.

تعریف فوق همراه با ساده‌سازی بسیار است. یک تعریف دقیق‌تر از این قرار است:

یک تانسور رتبه (۰,۱) و N-بعدی حقیقی مانند T نگاشتی است خطی از به یعنی:

اگر یک پایه برای باشد، آنگاه به مجموعه N عدد Tn که از

T(en) = Tn

به دست می‌آیند مؤلفه‌های T در پایه می‌گویند. می‌توان دید که مؤلفه‌های این تانسور، تحت تغییر پایه، رفتاری شبیه مؤلفه‌های یک بردار پادهموردا دارند. با یک نگاه کلی‌تر می‌توانیم را با یک فضای برداری N-بعدی دلخواه چون V عوض کنیم. در این صورت معمول است که مجموعهٔ همه چنین تانسورهایی را با V * نشان دهیم.

به طور مشابه یک تانسور رتبه (۰,۲) به عنوان یک نکاشت دو-خطی از به تعریف می‌شود:

این بار به مجموعه N2 عدد Tm,n که با

T(em,en) = Tm,n

تعریف می‌شوند مؤلفه‌های تانسور T گفته می‌شود ( پایهٔ V است). مجموعه تمام این تانسورها را با نشان می‌دهیم و می‌نویسیم: .

یک تانسور (۱,۰) چون T عضوی است از فضای برداری V. مؤلفه‌های این تانسور با شاخص‌های بالا و بدین ترتیب تعریف می‌شوند:

یک تانسور (۲,۰) عضوی از فضای برداری است که با پایه‌های تولید می‌شود. بنابراین چنین تانسوری با

داده می‌شود و Tmn مؤلفه‌های آن نامیده می‌شوند

این صفحه را در گوگل محبوب کنید

[ارسال شده از: سایت رسیک]

[مشاهده در: www.ri3k.eu]

[تعداد بازديد از اين مطلب: 4055]