بررسی یک مسئله از "آنی شئنفلد"درآموزش هنر مسئله حل کردن واستنتاج یک قانون کلی از آن

واضح آرشیو وب فارسی:فان پاتوق: مسئله نهم مقاله ای که "آنی شئنفلد"در باب آموزش هنر حل مسئله بیان می کندکمی برای کسی که اولین بار با این مساله برخورد می کند مغالطه آمیز است.درواقع چگونگی حل آن کمی سردرگم کننده است.این مساله به صورت زیر بیان می شود:
فرض کنید pوq وr و s اعداد حقیقی مثبتی باشند نامساوی زیررا اثبات کنید:
P2+1)(q2+1)(r2+1)(s2+1)/pqrs≥16 )
دراین مقاله آمده است دانشجویان سعی می کردند طرفین نامساوی را در pqrs ضرب کنند واکثرا ناموفق بوده اند.
معمولا این گونه مسایل نیاز به انتخاب یک استراتژی اصولی در ابتدای حل و پی گیری آن تا مراحل پایانی مسئله دارد.
استراتژی های جامع حل مسئله در زیر آمده است:
1)درک صورت مساله
2)تحلیل خود مساله
3)طراحی ابتدایی برهان
4)اجرای مرحله به مرحله برهان
5)بررسی موضعی
6)حل موقت
7)تعمیم حل موقت به حالت کلی
هدف اصلی ما در طرح ریزی این مساله انتخاب شیوه ای جدید برای حل این مساله است و از این شیوه جدید به نام"شبیه سازی پارامترها" نام می بریم.
به مساله باز می گردیم.باکمی دقت در مساله می توان دریافت مقادیر به کاررفته در صورت ومخرج کسر قابل برنامه ریزی واستراتژی بندی هستند.
برای حل مساله به شیوه ای نوین ابتدا لازم است یک نامساوی را مورد بحث قرار دهیم:
(p2+1)n/pn≥2n
این نامساوی را می توان با استقرا روی n اثبات کرد.(اثبات برعهده خواننده)
حال می خواهیم ببینیم چگونه از این نامساوی می توان در حل این مساله استفاده کرد.اگر در نامساوی فوق قرار دهیم n=1 اولین جمله طبیعی نامساوی برابر با 2 خواهد شد که خود اثباتی است از اتحاد اول.
اولین مولد طبیعی نامساوی یعنی 2را هسته نامساوی می گیریم.
اگر مساله را تجزیه کنیم داریم:
(p2+1)/p2 ,(q2+1)/q2 ,(r2+1)/r2 ,(s2+1)/s2
که همگی درهم ضرب شده اند و حاصل را بزرگتر –مساوی 24 ساخته اند.
می بینیم که در این نامساوی 4 جمله همگن در هم ضرب شده وحاصلی همگن با خود پدید آورده اند.
ملاحظه می شود که جملات ناشی از تجزیه سوال, جمله اول نامساوی مذکور ما است. لذا حاصل ضرب آنها به این معناست که گویی 4 بار 2 رادرخودش ضرب کنیم که همان 24است و مسئله اثبات می شود.
در حالت کلی می توان گفت حل این گونه مسایل شگردهای خاص خودرادارد وممکن است از چندین راه حل شوند. ولی این راه حل ابتکاری که توسط نگارنده مقاله مورد استفاده قرار گرفته است حالات کلی تری را شامل می شود واین می تواند به زیبایی حل بیا فزاید.
منبع:مجموعه مقالات ریاضی-باشگاه دانش پژوهان جوان

این صفحه را در گوگل محبوب کنید

[ارسال شده از: فان پاتوق]

[مشاهده در: www.funpatogh.com]

[تعداد بازديد از اين مطلب: 95]