تبلیغات

تبلیغات متنی

محبوبترینها

ماندگاری بیشتر محصولات باغ شما با این روش ساده!

بارش‌های سیل‌آسا در راه است! آیا خانه شما آماده است؟

قیمت انواع دستگاه تصفیه آب خانگی در ایران

نمایش جنگ دینامیت شو در تهران [از بیوگرافی میلاد صالح پور تا خرید بلیط]

9 روش جرم‌ گیری ماشین لباسشویی سامسونگ برای از بین بردن بوی بد

ساندویچ پانل: بهترین گزینه برای ساخت و ساز سریع

خرید بیمه، استعلام و مقایسه انواع بیمه درمان ✅?

پروازهای مشهد به دبی چه زمانی ارزان می‌شوند؟

تجربه غذاهای فرانسوی در قلب پاریس بهترین رستوران‌ها و کافه‌ها

دلایل زنگ زدن فلزات و روش های جلوگیری از آن

آمار وبسایت

تعداد کل بازدیدها : 1837489744

آموزش رياضي محض - بزرگترین مقسوم علیه مشترک

واضح آرشیو وب فارسی:فان پاتوق: مقسوم علیه های مشترک میان دو عددa وb، اعدادی هستند که بتوانند هم a و هم b را بشمارند.
به عبارت ریاضی: c مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b است هرگاه c|a و c|b .
مثلا مقسوم علیه های دو عدد 15 و30 را داریم:
مقسوم علیههای 15 = {1,3,5,15} مقسوم علیههای 35 = {1,5,7,35} مقسوم علیه های مشترک میان این دو عدد عبارتند از: مقسوم علیه های مشترک 15 و 35 = {1,5} تعریف

بزرگترین مقسوم علیه مشترک میان دو عدد، عددی است که نسبت به تمام مقسوم علیه های مشترک میان دو عدد، بزرگترین باشد.
به عبارت ریاضی: d بزرگترین مقسوم علیه a و b است هرگاه d|a و d|b و اگر c|a و c|b وآنگاه d>c .

بزرگترین مقسوم علیه مشترک در مثال بالا ، 5 است. که آن را به این صورت نمایش می دهند:
(15,35)=5
بزرگترین مقسوم علیه میان دو عدد را به اختصار به صورت ب.م.م می نویسند.
اگر ب.م.م دو عدد یک باشند ، آنگاه این دو عدد نسبت به هم اولند.مثلا دو عدد 13 و 8 هیچ مقسوم علیه مشترکی جز یک ندارند.
قضایای مربوط:

قضیه 1. این قضیه به قضیه بزو نیز معروف است. مطابق این قضیه مجموعه زیر مجموعه ای از مقسوم علیه های مشترک میان دو عدد a وb هستند:
{S={m,n ε Z| am+bn>0
به این ترتیب می توان ثابت کرد که مینیمم این مجموعه همان بزرگترین مقسوم علیهaوb است.
برهان:در {S={m,n ε Z| am+bn>0 داریم

و همچنین S ناتهی است چون:

به این ترتیب اگر a>0 باشد:

و اگر a

و این نتیجه می دهد S ناتهی است.
لذا بنا بر اصل خوشترتیبی S دارای عضو مینیمم است چون d. یعنی:

پس داریم:

حال نشان می دهیم d برابر بزرگترین مقسوم علیه مشترک aوb است یعنی:

برای این کار باید نشان دهیم:
1)

برهان: a را بر d تقسیم می کنیم: برطبق قضیه الگوریتم تقسیم:

حال نشان می دهیم که r=0 و از آنجا نتیجه میگیریم که d|a. به برهان خلف اگر r مخالف صفر باشد پس r>0 به این ترتیب:

و از طرفی r

برهان:

پس به این ترتیب ثابت شد: مینیمم مجموعه S یعنی d همان بزرگترین مقسوم علیه مشترک aوb است.
قضیه 2. d بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b است اگر و تنها اگر :
الف) d|a و d|b و ب) اگر c|a و c|b آنگاه c|d.

قضیه 3.اگر a|bc و a,b نسبت به هم اول باشند، آنگاه a|c . این قضیه به لِم اقلیدس نیز معروف است.
قضیه 4. اگر P|ab (عدد P یک عدد اول است)، آنگاه P|a یا P|b .
قضیه 5. اگر c کوچکترین مضرب مشترک و d بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a وb باشد آنگاه داریم:
d*c=ab
لم های مربوط:

لم 1. بر اساس اصول بنیادی حساب، هر عدد مرکب را می توان به صورت حاصلضرب اعداد اول تجزیه کرد. ب.م.م میان دو عدد برابر با حاصلضرب اعداد اول مشترک میان آن دو عدد به توان عدد کمتر.
لم 2. ب.م.م دو عدد، هر مقسوم علیه مشترک میان دو عدد را می شمارد:

لم 3. اگر

آنگاه : عدد k موجود است به قسمی که

لم 4. اگر
a|c & b|c , (a,b)=1 ===> ab|c

لم 5. اگر

آنگاه

مثال :

مثال1. اگر n عددی فرد باشد ثابت کنید که 24حاصلضرب سه عدد متوالی قبل و بعد از n را می شمرد:
24|(n-1)n(n+1)
جواب:
عدد سه، حاصلضرب سه عدد متوالی را می شمرد( اثبات آن به عهده خواننده است. راهنمایی : هر عددی را می توان به صورت :
A=3q+r 0≤r