آنالیز موجك چیست ؟

واضح آرشیو وب فارسی:فان پاتوق: آنالیز موجك چیست ؟
آنالیز موجك
الف) تاریخچه:
ایده ی نمایش یک تابع برحسب مجموعه ی کاملی از توابع اولین بار توسط ژوزف فوریه، ریاضیدان و فیزیکدان بینسال های ۱۸۰۶-۱۸۰۲ طی رساله ای در آکادمی علوم راجع به انتشار حرارت، برای نمایش توابع بکار گرفته شد. در واقع برای آنکه یک تابعf(x) به شیوه ای ساده و فشرده نمایش داده شود فوریه اساسا ثابت کرد که می توان از محور هایی استفاده کرد که بکمک مجموعهایی نامتناهی از توابع سینوس وار ساخته می شوند. بعبارت دیگر فوریه نشان داد که یکتابع f(x) را می توان بوسیله ی حاصل جمع بی نهایت تابع سینوسی و کسینوسی به شکل sin(ax) و cos(ax) نمایش داد. پایه های فوریه بصورت ابزار هایی اساسی، با کاربردهای فوق العاده متواتر در علوم، در آمده اند، زیرا برای نمایش انواع متعددی از توابع ودر نتیجه کمین های فیزیکی فراوان بکار می روند. با گذشت زمان ضعف پایه های فوریهنمایان شد مثلا دانشمندان پی بردند پایه های فوریه و نمایش توابع سینوس وار در موردسیگنال های پیچیده نظری تصاویر، نه تنها ایده آل نیستند بلکه از شرایط مطلوب دورند،بعنوان مثال به شکل کارآمدی قادر به نمایش ساختارهای گذرا نظیر مرزهای موجود درتصاویر نیستند. همچین آنها متوجه شدند تبدیل فوریه فقط برای توابع پایه مورداستفاده قرار می گیرد و برای توابع غیر پایه کار آمد نیست.(البته در سال ۱۹۴۶ بااستفاده از توابع پنجره ای، که منجر به تبدیل فوریه ی پنجره ای شداین مشکل حل شد.)
در سال ۱۹۰۹ هار اولین کسی بود که به موجک ها اشاره کرد. در سال های ۱۹۳۰ریاضیدانان به قصد تحلیل ساختارهای تکین موضوعی به فکر اصلاح پایه های فوریه افتادند. و بعد از آن در سال ۱۹۷۰ یک ژئوفیزیکدان فرانسوی به نام ژان مورله متوجهشد که پایه های فوریه بهترین ابزار ممکن در اکتشافات زیر زمین نیستند، این موضوع درآزمایشگاهی متعلق به الف آکیلن منجر به یکی از اکتشافات تبدیل به موجک هاگردید.
در سال ۱۹۸۰ ایومیر ریاضیدان فرانسوی، نخستین پایه های موجکی متعامد راکشف کرد(تعامد نوعی از ویژگی ها را بیان می کند که موجب تسهیلات فراوانی در استدلال و محاسبه می شود، پایه های فوریه نیز متعامدند.) در همین سال ها مورله مفهوم موجک وتبدیل موجک را بعنوان یک ابزار برای آنالیز سیگنال زمین لزره وارد کرد و گراسمنفیزیکدان نظری فرانسه نیز فرمول وارونی را برای تبدیل موجک بدست آورد.
در سال۱۹۷۶میرو و مالت از پایه های موجک متعامد توانسنتد آنالیز چند تفکیکی را بسازند ومالت تجزیه موجک ها و الگوریتم های بازسازی را با بکار بردن آنالیز چند تفکیکی بوجود آورد. در سال ۱۹۹۰ مورنزی همراه با آنتوان موجک ها را به دو بعد و سپس به فضاهایی با ابعد دیگر گسترش دادند و بدین ترتیب بود که آنالیز موجکی پایه گذاری گردید.
ب) آشنایی
آنالیز موجک (Wavelet Analysis) یکی از دستاوردهای نسبتاجدید و هیجان انگیز ریاضیات محض که مبتنی بر چندین دهه پژوهش در آنالیز همساز است،امروزه کاربردهای مهمی در بسیاری از رشته های علوم و مهندسی یافته و امکانات جدیدی برای درک جنبه های ریاضی آن و نیز افزایش کاربردهایش فراهم شده است.
در آنالیزموجک هم مانند آنالیز فوریه با بسط تابع ها سروکار داریم ولی این بسط برحسب «موجکها» انجام می شود.
موجک تابع مشخص مفروضی با میانگین صفر است و بسط برحسب انتقالها و اتساعهای این تابع انجام می گیرد، بر خلاف چند جمله ای های مثلثاتی،موجک ها در فضا بصورت موضعی بررسی می شوند و به این ترتیب ارتباط نزدیکتری بین بعضیتوابع و ضرایب آن ها امکان پذیر می شود و پایداری عددی بیشتری در باز سازی ومحاسبات فراهم می گردد. هر کاربردی را که مبتنی بر تبدیل سریع فوریه است می توان بااستفاده از موجک ها فومول بندی کرد و اطلاعات فضایی (یا زمانی) موضعی بیشتری بدستآورد. بطور کلی، این موضوع بر پردازش سیگنال و تصویر و الگوریتم های عددی سریع برای محاسبه ی عملگرهای انتگرالی اثر می گذارد.
آنالیز موجک حاصل ۵۰ سال کار ریاضی (نظریه ی لیتلوود – پیلی و کالدرون – زیگموند) است که طی آن، با توجه به مشکلاتی کهدر پاسخ دادن به ساده ترین پرسش های مربوط به تبدیل فوریه وجود داشت، جانشینهای انعطاف پذیر ساده تری از طریق آنالیز همساز ارائه شدند. مستقل از این نظریه که درونریاضیات محض جای دارد، صورتهای مختلفی از این رهیافت چند مقیاسی (multi Scale) رادر طی دهه ی گذشته در پردازش تصویر، آکوستیک، کدگذاری(به شکل *****های آیینه ایمتعامد و الگوریتمهای هرمی)، و استخراج نفت دیده ایم.
ج) کاربردها
آنالیزموجک همراه با تبدیل سریع فوریه در تحلیل سیگنالهای گذرایی که سریعا تغییر می کنند،صدا و سیگنالهای صوتی، جریان های الکتریکی در مغز، صداهای زیر آبی ضربه ای و داده های طیف نمایی NMR، و در کنترل نیروگاههای برق از طریق صفحه ی نمایش کامپیوتر بکاررفته است. و نیز بعنوان ابزاری علمی، برای روشن ساختن ساختارهای پیچیده ای که درتلاطم ظاهر می شوند، جریان های جوی، و در بررسی ساختارهای ستاره ای از آن استفادهشده است. این آنالیز به عنوان یک ابزار عددی می تواند مانند تبدیل سریع فوریه تا حدزیادی از پیچیدگی محاسبات بزرگ مقیاس بکاهد، بدین ترتیب که با تغییر هموار ضریب،ماتریس های متراکم را به شکل تنکی که به سرعت قابل محاسبه باشد در آورد. راحتی وسادگی این آنالیز باعث ساختن تراشه هایی شده است که قادر به کدگذاری به نحوی بسیارکارا، و فشرده سازی سیگنالها و تصاویرند.
آنالیز موجک امروزه کاربردهای فراوانیپیدا کرده است که از آن جمله می توان به کاربرد آن در تصویر برداری پزشکی (MRI) وسی تی اسکن (CAT)، جداسازی بافت های مغزی از تصاویر تشدید مغناطیس، تشخیص خودکارخوشه های میکروکلسیفیکاسیون، تحلیل تصاویر طیفی تشدید مغناطیسی (MR Spectrorscopy) و عملکردهای تشدید مغناطیسی(F MRI) اشاره نمود
.
منابع
انفجار ریاضیات/ انجمن ریاضی فرانسه
نشر ریاضی(مجله ریاضی مرکز نشر دانشگاهی )-سال پنجم-شماره های ۱و۲
کاربرد موجک ها در اپتیک کوانتومی(پایان نامه ی کارشناسی ارشد) / روح اله نمازیریزی- دانشكده : علوم اصفهان
مبناها مبناهای موجک وفقی بهینه برای پردازش تصویرو ویدیو(پایان نامه ی کارشناسی ارشد) / مهدی امیری قزلجه - دانشکده ی مهندسی کامپیوتر صنعتی شریف
نشریه مهندسی برق و کامپوتر ایران، فشرده سازی وفقی سیگنال صحبت باند وسیع و صوت با استفاده از تبدیل موجک/طه مرتضوی و محمد حسن ساوجی-۱۳۸۵
حمید سعیدی، محمود مدرس هاشمی و سعید صدری , بهبود آشکارسازی اهداف راداری بااستفاده از نویززدائی برپایه تبدیل موجک
نشریه استقلال , سال ۱۳۸۴ , جلد ۲۴ , شماره ۱ , تابستان , از صفحه ۱۷ تا صفحه ۲۹
اشاعه : P30Pedia.com

این صفحه را در گوگل محبوب کنید

[ارسال شده از: فان پاتوق]

[مشاهده در: www.funpatogh.com]

[تعداد بازديد از اين مطلب: 6085]