سه ریاضیدان برجسته موفق شدهاند اثباتی را ارائه دهند که یک مسئله دیرینه و حلنشده را در علم ریاضیات حل میکند. جالب اینجاست که حتی خود ریاضیدانی که برای اولین بار این مسئله را مطرح کرد — برنده جایزه معتبر آبل — باور نداشت که این معما هرگز حل شود. این راه حل نوآورانه، بینش جدیدی را درباره ساختارهای تصادفی چند بعدی ارائه میدهد که میتواند تأثیر بسزایی بر علم داده، یادگیری ماشین و بهینهسازی بگذارد.
به گزارش واضح به نقل از پایگاه علمی Phys.org، در سال ۱۹۹۵، میشل تالاگراند (Michel Talagrand) مسئله ریاضی مشهور خود را مطرح کرد؛ مسئلهای که میپرسد آیا محدب بودن (Convexity) میتواند در یک تعداد مراحل ثابت و یکنواخت (با استفاده از عملیاتی به نام مجموع مینکوفسکی) در هر تعداد بعدی ایجاد شود یا خیر. در علم ریاضیات، محدب بودن به این معنی است که یک شکل یا تابع به سمت بیرون خمیده شده باشد تا اطمینان حاصل شود که هیچ شکاف یا فرورفتگی رو بهداخلی در آن وجود ندارد. بنابراین، هر خطی که از دو نقطه روی محیط یا داخل شکل رسم شود، باید کاملاً در داخل آن شکل قرار گیرد. به عنوان مثال، یک دایره یا مربع در دو بعد، یا یک کره یا مکعب در سه بعد، محدب در نظر گرفته میشوند.
فرضیه کوژ بودن تالاگراند و نفرین ابعاد
فرضیه کوژ بودن تالاگراند (Talagrand’s convexity conjecture) به مجموع مینکوفسکی نیاز دارد؛ عملیاتهای ریاضی که دو مجموعه از نقاط یا اشکال هندسی را با افزودن تکتک نقاط مجموعه اول به تمام نقاط مجموعه دوم با یکدیگر ترکیب میکنند. با افزایش تعداد ابعاد، همه این فرآیندها به مراتب پیچیدهتر میشوند. برخی از متخصصان این مسئله را نفرین ابعاد (Curse of dimensionality) مینامند؛ پدیدهای که باعث میشود پیچیدگی هندسی و زمان محاسباتی اشکال حاصل به صورت نمایی و انفجاری افزایش یابد.
خود تالاگراند گمان نمیکرد که این فرضیه محدب بودن قابل حل باشد و جایزهای ۲۰۰۰ دلاری برای هر کسی که بتواند اثبات آن را ارائه دهد، تعیین کرده بود. او در گفتگو با مجله ساینتیفیک امریکن اظهار داشت: «من این فرضیه جسورانه را واقعاً بدون هیچ پایهای مطرح کردم، میدانید — این فقط یک تیر در تاریکی بود. وقتی چنین چیزی میگویید، احساس میکنید احتمالاً نمیتواند درست باشد.»
تالاگراند در ابتدا در مقاله سال ۱۹۹۵ خود نشان داد که دو عمل جمع مینکوفسکی برای تضمین ایجاد یک زیرمجموعه محدب بزرگ کافی نیست. در سال ۲۰۲۵، ریاضیدان دیگری اثبات کرد که جایگزینی مجموع مینکوفسکی با عملیاتهای محدب، این نسخه قویتر از مسئله محدب بودن را نادرست میسازد. اما این کار هنوز نسخه کلیتر و اصلی تالاگراند را حل نکرده بود.
یافتن اثبات علمی در نظریه احتمالات
اثبات جدید این معما توسط دانگمینگ هوا (Dongming Hua) و آنتوان سانگ (Antoine Song) از موسسه فناوری کالیفرنیا (Caltech) و استفان تودوس (Stefan Tudose) از دانشگاه پرینستون انجام شد؛ تودوس پس از شنیدن درباره کار این دو محقق به آنها پیوست. این ریاضیدانان با همکاری یکدیگر، فرضیه هندسی تالاگراند را به یک مسئله در نظریه احتمالات و بردارهای تصادفی بازآفرینی کردند. آنها در مقاله خود که در سرور پیشچاپ arXiv منتشر شده است، یک فرضیه معادل را برای احتمالات اثبات کردند و نشان دادند که هر بردار تصادفی ۱-سابگوسی در n بعد را میتوان به عنوان مجموع سه بردار تصادفی گوسی استاندارد بیان کرد.
این نتیجه خارقالعاده مسئله محدب بودن تالاگراند را حل میکند و اثبات میسازد که برای هر مجموعه به اندازه کافی بزرگ در فضای گوسی، یک مجموعه محدب با معیارهای قابل توجه را میتوان در یک مجموع سهگانه از مجموعه اصلی پیدا کرد. این راه حل همچنین یک آنالوگ ترکیبیاتی از مسئله را تایید میکند که برای ریاضیات گسسته بسیار حائز اهمیت است.
نقش هوش مصنوعی چتجیپتی در حل این معادله ریاضی
در ابتدا، سانگ و هوا میگویند که تلاش کردند با کمک ChatGPT به یک راه حل دست یابند. با این حال، در شرایطی که این مدل زبانی بزرگ (LLM) به پاسخگویی به برخی از سوالات آنها کمک کرد و آنها را به راه حل نزدیکتر ساخت، اما این تودوس بود که اثبات نهایی را ارائه داد. در نهایت، این تیم از کارهای انجامشده با چتجیپتی استفاده نکردند. اعضای تیم در مقاله خود نوشتند که اثبات تودوس بسیار کلیتر و مفهومیتر بوده است.
حل این معمای ریاضی چند دههای، پل ارتباطی قدرتمندی میان هندسه، احتمال و ترکیبیات ایجاد میکند و پیوندهای شگفتانگیزی را بین جهانهای پیوسته و گسسته به نمایش میگذارد. اگرچه این دسته از مسائل ریاضی ممکن است مبهم و انتزاعی به نظر برسند، اما بسیاری از فناوریهایی که ما در زندگی روزمره خود از آنها استفاده میکنیم به ابزارها و الگوریتمهای ریاضی پیچیده متکی هستند. حل فرضیه تالاگراند میتواند بر علم داده، یادگیری ماشین و حوزههایی مانند بهینهسازی لجستیک که در آنها مدلهای مشابه شامل تصادفیبودن پیچیده رایج هستند، تأثیرگذار باشد.