محبوبترینها
قیمت دیگ بخار و تولیدکننده اصلی دیگ بخار
معروف‌ترین هدیه و سوغاتی یزد مشخص شد!
آشنایی با انواع دوربین مداربسته ضد آب
پرداخت اینترنتی قبوض ساختمان (پرداخت قبض گاز، برق و آب)
بهترین دوره آموزش سئو محتوا در سال 1403 با نام طوفان ۱۴۰۳ در فروردین ماه شروع می شود
یک صرافی ارز دیجیتال چه امکاناتی باید داشته باشد؟
تعمیرگاه مجاز تعمیر ماشین لباسشویی در شرق تهران
تعمیرگاه مجاز تعمیر ماشین لباسشویی در شرق تهران
جراحی و درمان ریشه دندان عفونی با خانم دکتر صفوراامامی
چه مواردی بر قیمت کابین دوش حمام تاثیر دارند؟
صفحه اول
آرشیو مطالب
ورود/عضویت
هواشناسی
قیمت طلا سکه و ارز
قیمت خودرو
مطالب در سایت شما
تبادل لینک
ارتباط با ما
مطالب سایت سرگرمی سبک زندگی سینما و تلویزیون فرهنگ و هنر پزشکی و سلامت اجتماع و خانواده تصویری دین و اندیشه ورزش اقتصادی سیاسی حوادث علم و فناوری سایتهای دانلود گوناگون
مطالب سایت سرگرمی سبک زندگی سینما و تلویزیون فرهنگ و هنر پزشکی و سلامت اجتماع و خانواده تصویری دین و اندیشه ورزش اقتصادی سیاسی حوادث علم و فناوری سایتهای دانلود گوناگون
آمار وبسایت
تعداد کل بازدیدها :
1797700171
نامساوي.ها – قسمت سوم
واضح آرشیو وب فارسی:فان پاتوق: نامساوي.ها – قسمت سوم
مقدمه
در اين زنگ تفريح با كمك شما بنا داريم قضيه.ها و روش.ها بسياري را در زمينه.ي «نامساوي.ها» مطرح كنيم كه مي.تواند براي حل مسائلي كاربرد داشته باشد كه معمولاً در المپيادهاي رياضي يا رقابت.هاي كشوري مطرح مي.شود.بسياري از مسائل در زمينه.ي نامساوي.ها از اين قضايا برگرفته شده است. مي.خواهيم از كمك شما نيز بهره بگيريم لذا سعي مي.كنيم مطالب را از ساده به مشكل براي.تان طرح كنيم. هم.چنين منتظريم كه اشكال. مطالب را به ما گوشزد كرده مطالب مفيد ديگري از اين مبحث را به دوستان.تان منتقل كنيد.
در قسمت پيشين، ضمن ارائه.ي تعاريفي از توابع «محدب» و «مقعر»، به.طور خلاصه قضاياي ذيل را در نامساوي.ها مطرح كرديم:
- قضيه.ي «ينسن» (Jensen)
- قضيه.ي «ميانگين تواني وزن.دار» (Weighted Power Mean)
- قضيه.ي «هولدر» (Holder)
- قضيه.ي «كوشي» (Cauchy)
- قضيه.ي «آرايش مجدد» (Rearrangement)
- قضيه.ي «چبيشف» (Chebyshev)
- قضيه.ي «شور» (Schur).
در قسمت دوم از اين مبحث، هفت قضيه.ي اساسي و كاربردي در حل مسائل نامساوي.ها با عناوين ذيل مطرح مي.شود:
- قضيه.ي «نيوتن» (Newton)
- قضيه.ي «مك لورن» (Maclaurin)
- قضيه.ي «ترتيب ماجورايزيشن» (Majorization)
- قضيه.ي «پوپوويچيو» (Popoviciu)
- قضيه.ي «برنولي» (Bernoulli)
- قضيه.ي «مورهد» (Muirhead)
در پايان نيز سه سؤال در كاربرد برخي از اين قضايا همراه با پاسخ تشريحي مطرح خواهيم كرد.
قضيه.ي «نيوتن» (Newton)
فرض كنيد
اعداد حقيقي غيرمنفي باشند. چندجمله.اي.هاي متقارن
را به.گونه.اي تعريف كنيد كه داشته باشيم:
(رابطه.ي 1)
هم.چنين
.را به.عنوان «ميانگين متقارن» (Symmetric Average) به.صورت ذيل تعريف كنيد:
(رابطه.ي 2)
در اين.صورت نامساوي ذيل صادق خواهد بود:
(رابطه.ي 3)
قضيه.ي «مك لورن» (Maclaurin)
فرض كنيد
اعداد حقيقي غيرمنفي باشند. چندجمله.اي.هاي متقارن
را به.گونه.اي تعريف كنيد كه داشته باشيم:
(رابطه.ي 1)
هم.چنين
را به.عنوان «ميانگين متقارن» (Symmetric Average) به.صورت ذيل تعريف كنيد:
(رابطه.ي 4)
در اين.صورت نامساوي ذيل صادق خواهد بود:
(رابطه.ي 5)
قضيه.ي «ترتيب ماجورايزيشن» (Majorization)
فرض كنيد تابع
يك «تابع محدب» بر روي دامنه.ي
.باشد. هم.چنين دنباله.ي
نسبت به ترتيب (Majorization) از دنباله.ي
بزرگ.تر باشد كه در آن:
است.
در اين.صورت نامساوي ذيل برقرار است:
(رابطه.ي 6)
قضيه.ي «پوپوويچيو» (Popoviciu)
فرض كنيدتابع
يك «تابع محدب» بر روي دامنه.ي
.باشد. هم.چنين فرض كنيد:
.
در اين.صورت براي هر عدد حقيقي و مثبت
داريم:
(رابطه.ي 7)
قضيه.ي «برنولي» (Bernoulli)
براي هر
و
رابطه.ي ذيل برقرار است:
(رابطه.ي 8)
«راب ج. مورهد»
(Robb J. Muirhead)
قضيه.ي «مورهد» (Muirhead)
فرض كنيد دنباله.ي
نسبت به ترتيب (Majorization) از دنباله.ي
بزرگ.تر باشد. در اين.صورت براي هر عدد حقيقي مثبت
رابطه.ي. ذيل برقرار است:
(رابطه.ي 9)
كه در آن جمع.ها
بر روي جايگشت.هاي
متغير اعمال مي.شود.
ياداوري – اگرچه قضيه.ي «مورهد» (Muirhead) قضيه.اي مشهور است ولي معمولاً در جواب سؤال.هاي المپيادها به.عنوان قضيه.اي شناخته.شده پذيرفته نمي.شود. اساساً ملاك دارا بودن بزرگ.تري در ترتيب (Majorization) تضمين مي.كند كه قضيه.ي «مورهد» (Muirhead) مي.تواند از كاربرد مناسب «نامساوي.ها. در ميانگين.هاي حسابي و هندسي» استنباط شود.
بنابراين هر زمان امكان داشته باشد فقط براي تضمين صحت روابط مي.توانيد از قضيه.ي «مورهد» (Muirhead) استفاده كنيد ولي بايد همه.ي موارد لازم در زمينه.ي «نامساوي. در ميانگين.هاي حسابي و هندسي» بهره ببريد.
حل مسأله با مثال
همه.ي ما مي.دانيم براي حل هر نوع مسأله بايد هميشه ابتدا بايد به.دنبال راه.حل.هاي نسبتاً آسان باشيم و تنها بعد از آن است كه به.سراغ راه.حل.هاي متوسط و سخت مي.رويم. از طرف ديگر به.وضوح مي.توان مشاهده كرد كه «سختي» مسأله براي افراد مختلف، متفاوت است.
معمولاً در نامساوي.ها به.ترتيب بايد از قضاياي ذيل استفاده كنيم و سپس به.سراغ راه.حل.هاي هوشمندانه.تر برويم:
- «نامساوي.ها. در متوسط.هاي حسابي و هندسي» (AM-GM) (Arithmetic and Geometric Means)
- قضيه.ي «كوشي» (Cauchy)
- قضيه.ي «چبيشف» (Chebyshev) يا «آرايش مجدد» (Rearrangement)
- قضيه.ي «ينسن» (Jensen)
- قضيه.ي «هولدر» (Holder).
روش استفاده از «نامساوي.ها. در ميانگين..هاي حسابي و هندسي» را در ياداوري.هاي بعد از مثال اول ذكر خواهيم كرد. نامساوي.هاي ساده با استفاده از اين روش حل مي.شوند. روش استفاده از قضاياي «ينسن» (Jensen) و «هولدر» (Holder) نياز به هوشياري بيش.تري داشته سخت.تر است. به.خاطر آن.كه عبارت.هاي نامساوي طولاني بوده هوشياري بيش.تري مي.طلبد.
اكنون بياييم چند مسأله با هم حل كنيم:
سؤال 1
نشان دهيد براي اعداد حقيقي مثبت
،
و
رابطه.ي ذيل برقرار است:
(رابطه.ي 10)
جواب 1
راه.حل اول
با استفاده از «نامساوي.ها. در متوسط.هاي حسابي و هندسي» در عبارت.هاي داخل پرانتز سمت چپ رابطه.ي 10 بدين.صورت به.دست مي.آيد:
(رابطه.ي 11)
راه.حل دوم
با استفاده از قضيه.ي «كوشي» (Cauchy) خواهيم داشت:
(رابطه.ي 12)
راه.حل سوم
سمت چپ رابطه.ي 10 را بسط داده با استفاده از «نامساوي.ها. در ميانگين.هاي حسابي و هندسي» خواهيم داشت:
(رابطه.ي 13)
بايد توجه داشت كه قبلاً با استفاده از قضيه.ي «مورهد» (Muirhead) به صحت رابطه.ي 10 واقف بوديم به.خاطر آن.كه سه.تايي مرتب.هاي
،
و
همگي داراي برتري در ترتيب (Majorization) نسبت به سه.تايي مرتب
هستند.
راهكار ضرب همه.ي عبارت.هاي چندجمله.اي و به.كار بردن «نامساوي.ها. در ميانگين.هاي حسابي و هندسي» به.همراه اعمال قضيه.ي «شور» (Schur) معمولاً راه.حلي غيرهوشمندانه تلقي مي.شود به.خاطر آن.كه تنها نيازمند صبر و حوصله در محاسبه.ها و محاسبه.ي حاصلضرب چندجمله.اي و فاقد هوشمندي است.
همان.طور كه بعداً نشان خواهيم داد روش.هاي غيرهوشمندانه نيز روش.هايي ارزشمند و مهم محسوب مي.شوند. هم.چنين بايد بگوييم كه اعمال «نامساوي.ها. در ميانگين.هاي حسابي و هندسي» بر روي همه.ي عبارت.هاي سمت چپ رابطه.ي 10 يك راه.حل ضعيف در حل نامساوي محسوب مي.شود اما نتيجه ضريبي از
(يعني كوچك.ترين درجه.ي. چندجمله.اي با سه متغير) خواهد بود.
هم.چنين بايد توجه داشت كه استفاده از «نامساوي.ها. در ميانگين.هاي حسابي و هندسي» به.تنهايي هميشه براي حل مسائل كافي نيست.
سؤال 2
فرض كنيد براي اعداد حقيقي مثبت
،
و
رابطه.ي ذيل برقرار است:
رابطه.ي 14)
ثابت كنيد رابطه.ي ذيل صادق است:
(رابطه.ي 15)
جواب 2
ابتدا نامساوي را همگن (Homogenize) مي.كنيم؛ يعني به.گونه.اي عمل مي.كنيم كه همه.ي عبارت.ها داراي درجه.ي يكساني باشند. اگر يك نامساوي يكنواخت بوده داراي درجه..اي نظير:
و
ضرايب آن را با
فاكتور بگيريم مي.توان دو طرف نامساوي را به.صورت مضربي از
نوشت.
البته اين كار زماني صحيح است كه براي مقادير مثبت و غير صفر
و عدد «زوج»
نامساوي هم.چنان برقرار باشد. بنابراين نياز به تغيير شكل ديگري در رابطه نداريم. در اين حالت طرف چپ رابطه را در
ضرب مي.كنيم در اين صورت داريم:
(رابطه.ي 16)
از آن.جايي كه
رابطه.اي ناهمگن است نامساوي بالا بايد براي هر عدد غيرمنفي
،
و
برقرار باشد. هم.چنين از آن.جايي كه
نسبت به ترتيب (Majorization) از
بزرگ.تر است با استفاده از «نامساوي.ها. در ميانگين.هاي حسابي و هندسي» داريم:
(رابطه.ي 17)
سؤال 3
فرض كنيد
چندجمله.اي با ضرايب مثبت باشد.
ثابت كنيد رابطه.ي ذيل براي
و
برقرار است:
(رابطه.ي 18)
جواب 3
فرض كنيد چندجمله.اي
از رابطه.ي ذيل به.دست آيد:
(رابطه.ي 19)
ابتدا براي
بررسي مي.كنيم:
(رابطه.ي 20)
(رابطه.ي 21)
با مقايسه.ي رابطه.هاي 21 و 22، رابطه.ي 19 ثابت مي.شود.
بنابراين راهكار طبيعي آن است كه
و
به.طريقي در
.تركيب كنيم. بهترين راه، استفاده از قضيه.ي «كوشي» (Cauchy) است يعني:
(رابطه.ي 22)
بدين.ترتيب مسأله ثابت شد.
اين راه.حل، نمونه.اي از كاربرد قضاياي «كوشي» (Cauchy) و «هولدر» (Holder) را نشان مي.دهد.
این صفحه را در گوگل محبوب کنید
[ارسال شده از: فان پاتوق]
[مشاهده در: www.funpatogh.com]
[تعداد بازديد از اين مطلب: 10235]
-
گوناگون
پربازدیدترینها