جمعه ، ۳ مرداد ۱۳۹۳
   احادیث و روایات:  پیامبر اکرم (ص):بدبخت‏ترين مردم پادشاهانند و خوشبخت‏ترين مردم كسى است كه با مردم بزرگوار معاشرت...   [کلیک]


تبلیغات






اضافه به علاقمنديها ارسال اين مطلب به دوستان آرشيو تمام مطالب
 

نامساوي.ها – قسمت اول - نامساوي.ها در مثلث



نامساوي.ها – قسمت اول - نامساوي.ها در مثلث

مقدمهيكي از مهم.ترين نامساوي.ها در رياضي، «نامساوي.ها در مثلث» است. «نامساوي در مثلث» از يك نگاه عام بر روي فاصله بين نقاط متمركز بوده و عبارت است از اين.كه خط مستقيم بين نقاط

و

از جمع فواصل نقطه.ي

تا

و

تا

از هر مسيري كم.تر است. اين امر بديهي بخشي از به.اصطلاح بينش روزانه.ي ما است و يادگيري آن ساده بوده اما در عين حال بسيار كاربردي است.
گاهي وقتي سخن از «نامساوي.ها در مثلث» مي.آيد به.ياد نامساوي مربوط به اضلاع و زواياي مثلث نظير موارد ذيل مي.افتيم:



- در هر مثلث، ضلع روبه.رو به زاويه.ي بزرگ.تر از ضلع روبه.رو به زاويه.ي كوچك.تر داراي بزرگي بيش.تري است

- در هر مثلث، مجموع هر دو ضلع از اندازه.ي ضلع ديگر بزرگ.تر است.

- اندازه.ي تفاضل دو ضلع در هر مثلث از ضلع سوم كوچك.تر است.
- و ...
در اين زنگ تفريح ضمن بيان روابط رياضي مربوط به نامساوي.هاي ذكر شده در مثلث (همراه با ذكر قضيه.هاي مربوط) به بيان يك «نامساوي بزرگ.تر در مثلث!» هم مي.پردازيم.

در پايان از يكي از محققان رياضي و طراحان سؤال.هاي المپياد جهاني رياضي سخن خواهيم گفت.













فاصله.ها در اعداد حقيقيبا فرض

و

به.عنوان اعدادي حقيقي،

بيانگر عدد مربوط به فاصله بين دو نقطه.ي

و

است؛ بنابراين دو حالت ممكن است:

- اگر

داريم:






(رابطه.ي 1)


- اگر

داريم:








(رابطه.ي 2)
بنابراين مي.توان نتيجه گرفت:






(رابطه.ي 3)
گاهي اوقات مي.توان رابطه.ي 3 را با نماد ذيل نشان داد:









(رابطه..ي 4)
بديهي است براي هر سه نقطه نظير:

،

و

مي.توان نامساوي.هاي ذيل را نوشت:







(رابطه.ي 5)
رابطه.ي فوق به «نامساوي در مثلث» (The Triangle Inequality) مشهور است.
براي اثبات رابطه.ي 5 دو حالت را در نظر مي.گيريم:
- حالت اول -


در صورت وجود حالت اول، سه حالت ديگر ممكن است:





و

در اين حالت داريم:









(رابطه.ي 6)
هم.چنين داريم:










(رابطه.ي 7)
در نتيجه داريم:









(رابطه.ي 8)







و


در اين حالت داريم:









(رابطه.ي 9)
هم.چنين داريم:









(رابطه.ي 10)
در نتيجه داريم:










(رابطه.ي 11)







و


در اين حالت داريم:












(رابطه.ي 12)
و هم.چنين داريم:







در نتيجه داريم:










(رابطه.ي 13)



- حالت دوم -


در اين صورت خواهيم داشت:







(رابطه.ي 14)
در صورت وجود حالت دوم، سه حالت ديگر ممكن است:







و


در اين حالت داريم:









(رابطه.ي 15)
و هم.چنين داريم:









(رابطه.ي 16)
در نتيجه داريم:









(رابطه.ي 17)







و


در اين حالت داريم:










(رابطه.ي 18)
و هم.چنين داريم:










(رابطه.ي 19)
در نتيجه داريم:










(رابطه.ي 20)







و


در اين حالت داريم:









(رابطه.ي 21)
و هم.چنين داريم:










(رابطه.ي 22)
در نتيجه داريم:









(رابطه.ي 23)



ساير نامساوي.ها در اعداد حقيقي«نامساوي در مثلث» (The Triangle Inequality) در اعداد حقيقي را مي.توان در شكل.هاي ديگري نيز بيان كرد:








(رابطه.ي 24)
و يا داريم:









(رابطه.ي 25)
مي.توانيم رابطه.هاي ذيل را در مورد «نامساوي در مثلث» (The Triangle Inequality) بنويسيم:








(رابطه.ي 26)









(رابطه.ي 27)







(رابطه.ي 28)




نامساوي.ها در مثلثدر هر مثلث

با اضلاع

،

و

به.ترتيب روبه.روي زواياي

،

و

، «محيط»

و «مساحت»

از روابطي نظير ذيل به.دست مي.آيد:






(رابطه.ي 29)











(رابطه.ي 30)
مي.توان ثابت كرد كه در هر مثلث مي.توان نامساوي.هاي ذيل را نوشت:
















(رابطه.ي 31)

-

اگر و فقط اگر




-

اگر و فقط اگر




-

اگر و فقط اگر

(رابطه.ي 32)







(رابطه.ي 33)







(رابطه.ي 34)







(رابطه.ي 35)







(رابطه.ي 36)







(رابطه.ي 37)







(رابطه.ي 38)








(رابطه.ي 39)












(رابطه.ي 40)












(رابطه.ي 41)












(رابطه.ي 42)












(رابطه.ي 43)












(رابطه.ي 44)








(رابطه.ي 45)
رابطه.ي 45 توسط «سيدونز» (Siddons) و «هوقس» (Hughes) در سال 1308 (1929 ميلادي) اثبات شد.












(رابطه.ي 46)












قضيه.ي هينگه (Hinge Theorem)«قضيه.ي هينگه»(Hinge Theorem) براي مقايسه.ي دو مثلث به.كار مي.رود كه داراي دو ضلع متجانس باشند. مطابق اين قضيه، اگر دو ضلع يك مثلث با دو ضلع مثلث ديگر متجانس باشد و زاويه.ي بين دو ضلع مثلث اول بزرگ.تر از مثلث دوم باشد در اين صورت ضلع سوم مثلث اول قطعاً از ضلع سوم مثلث دوم بزرگ.تر خواهد بود.معكوس «قضيه.ي هينگه» (Hinge Theorem) نيز صادق است: اگر دو ضلع يك مثلث با دو ضلع مثلث دوم متجانس باشند و ضلع سوم مثلث اول بزرگ.تر از ضلع سوم مثلث دوم باشد؛ هم.چنين زاويه.ي بين دو ضلع متجانس مثلث دوم از زاويه.ي بين مثلث اول بزرگ.تر باشد در اين صورت زاويه.ي روبه.روي ضلع سوم مثلث اول بزرگ.تر خواهد بود زيرا ضلع سوم مثلث اول از ضلع سوم مثلث دوم بزرگ.تر است.










(رابطه.ي 47)




مثال.هايي از قضيه.ي هينگه (Hinge Theorem)







مثال اول – سفر با هواپيماشما و دوست.تان با هواپيماهاي متفاوتي مسافرت مي.كنيد. در حالي كه هواپيماي شما در 120 كيلومتري شمال فرودگاه است هواپيماي دوست.تان در 120 كيلومتري جنوب فرودگاه قرار گرفته است. در اين لحظه، هواپيماي شما 70 كيلومتر با زاويه.ي 30 درجه. به.سمت شمال.شرق پرواز مي.كند. در همان حال، هواپيماي دوست.تان تغيير مسير داده و 70 كيلومتر با زاويه.ي 40 درجه به.سمت جنوب.غربي حركت مي.كند.
در حالي كه هر دو هواپيما 190 كيلومتر پيموده باشند كدام.يك از فرودگاه فاصله.ي بيش.تري گرفته است؟
به.راحتي با استفاده از «قضيه.ي هينگه» (Hinge Theorem) مي.توان نتيجه گرفت هواپيماي دوست.تان فاصله.ي بيش.تري از فرودگاه دارد.










(رابطه.ي 48)







مثال دوم – دايره و مثلثدو مثلث با مشخصات ذيل را در نظر بگيريد:
- يكي از رؤوس هر دو مثلث در مركز يك دايره قرار گرفته است.
- دو رأس ديگرشان بر روي محيط آن دايره واقع است.
چنان.چه زاويه.ي مربوط به رأس واقع در مركز دايره در مثلث اول بزرگ.تر باشد ضلع روبه.روي آن زاويه در كدام مثلث كوچك.تر خواهد بود؟همان.طور كه در شكل 3 نشان داده شده است مثلث اول

و مثلث دوم

است و داريم:







(رابطه.ي 49)
در نتيجه داريم:







(رابطه.ي 50)












يك نامساوي قوي در مثلث (Hinge Theorem)در سال 1376 (1997 ميلادي) «هـ. ر. باييلي» (H. R. Bailley) يك مهندس بازنشسته و «ر. بانيستر» (R. Bannister) يك شيميدان بازنشسته نتيجه.اي عجيب منتشر كردند كه به «نامساوي قوي در مثلث» (Strengthened Triangle Ineqality) مشهور شد؛ وجه تسميه.ي ان نيز مربوط به بيش.ترين كاربرد آن است.كمي بعد پروفسور «موراي كلامكين» (Murray Klamkin) - يكي از افرادي كه اخيراً مسائل زيادي توسط وي حل شده است – اثباتي يك.صفحه.اي براي آن ارائه داد.
«هـ. ر. باييلي» (H. R. Bailley) و «ر. بانيستر» (R. Bannister) براي بيان رابطه.ي خود از يك مثلث قايم.الزاويه و يك مربع محاط بر آن استفاده كردند. آنان دو روشي را كه يك مربع مي.تواند در يك مثلث قايم.الزاويه محاط شود مقايسه كردند. سؤال اين بود كه كدام مربع بزرگ.تر است؟
فرض كنيد داشته باشيم:

-

و

ساق.هاي مثلث
-

وترهاي مثلث
-

ارتفاع وارد بر وتر

-

و

اضلاع مربع.ها به.ترتيب در شكل.هاي 6 و 7
در هر دو شكل، وجود مثلث.هاي مشابه منجر به روابط ذيل مي.شود:











(رابطه.ي 51)
از روابط 21 مي.توان رابطه.ي ذيل را نتيجه گرفت:












(رابطه.ي 52)
و سرانجام رابطه.ي ذيل را مي.توان به.دست آورد:











(رابطه.ي 53)
بنابراين در يك مثلث قايم.الزاويه هم

و هم

هر دو برابر با مساحت مثلث هستند بنابراين داريم:







(رابطه.ي 54)
لذا از روابط 50 مي.توان نتيجه گرفت كه نسبت اندازه.ي مساحت.هاي مربع.ها با اندازه.هاي

و

نسبت عكس دارد.
براي مقايسه.ي اندازه.هاي

و

، تفاوت مربع.هاي آن.ها را محاسبه مي.كنيم:
















(رابطه.ي 55)
از رابطه.ي فوق چنين نتيجه مي.گيريم:
در يك مثلث قايم.الزاويه هميشه رابطه.ي ذيل صادق است:







(رابطه.ي 56)
رابطه.ي 26 بدين.معنا است كه:







(رابطه.ي 57)
بنابراين اضافه كردن ارتفاع

منجر به معكوس «نامساوي در مثلث.« مي.شود:







(رابطه.ي 58)
طبيعي بود كه «هـ. ر. باييلي» (H. R. Bailley) و «ر. بانيستر» (R. Bannister) پس از اثبات اين مطلب، پيش رفته و مقادير

و

را براي مثلث.هايي غير از قايم.الزاويه بررسي كنند. نتايج به.دست آمده توسط آنان هيجان.انگيز بود.
در يك مثلث با اضلاع

،

و

ارتفاع

و زاويه.ي

روبه.روي ضلع

باشد در اين صورت خواهيم داشت:







(رابطه.ي 59)
رابطه.ي 59 زماني محقق مي.شود كه رابطه.ي ذيل را داشته باشيم:








(رابطه.ي 60)
يا همان.طور كه «هـ. ر. باييلي» (H. R. Bailley) و «ر. بانيستر» (R. Bannister) ابراز داشته.اند رابطه.ي 59 براي بيش.تر مثلث.هايي صادق است كه داشته باشيم:








(رابطه.ي 61)
علاوه بر آن مي.دانيم:








(رابطه.ي 62)
اثبات ذيل به پروفسور «موراي كلامكين» (Murray Klamkin) منتسب شده است كه براساس اتحاد ذيل بيان شده است:












(رابطه.ي 63)
رابطه.ي فوق در هر مثلثي صادق است و در آن زواياي

و

به.ترتيب روبه.روي اضلاع

و

هستند.
براي مقادير ثابت

، نسبت

زماني حداقل خواهد بود كه

و

با يكديگر مساوي باشند (مثلث متساوي.الساقين):







(رابطه.ي 64)
لذا براي مثلث با زواياي حاده رابطه.ي ذيل را خواهيم داشت:















(رابطه.ي 65)
رابطه.ي 65 تنها و تنها زماني صادق است كه داشته باشيم:







(رابطه.ي 66)
براي اين.كه رابطه.ي 59 برقرار باشد بايد داشته باشيم:












(رابطه.ي 67)
سمت چپ رابطه.ي 67 يك تابع نزولي از بوده و برابر با 1 است زماني كه داشته باشيم:








(رابطه.ي 68)
و زماني رابطه.ي 68 برقرار است كه داشته باشيم:








(رابطه.ي 69)
بنابراين رابطه.ي 59 زماني برقرار است كه نامساوي ذيل صادق باشد:








(رابطه.ي 70)
بدين.ترتيب تنها كافي است رابطه.ي 63 را ثابت كنيم.
اگر

شعاع دايره.ي محيطي مثلث

باشد داريم:












(رابطه.ي 71)
بنابراين داريم:










(رابطه.ي 72)
با استفاده از رابطه.هاي مقدماتي مثلثاتي و اين.كه:

، رابطه.ي ذيل به.دست خواهد آمد:

















(رابطه.ي 73)
از آن.جايي كه در هر مثلث مجموع زواياي داخلي مثلث برابر 180 درجه است داريم:











(رابطه.ي 74)
با جايگذاري رابطه.ي 74 در رابطه.ي 73 خواهيم داشت:























(رابطه.ي 75)




«موراي كلامكين» (Murray Klamkin)



«موراي كلامكين» (Murray Klamkin) «موراي كلامكين» (Murray Klamkin) يك رياضيدان امريكايي است كه در 14 اسفند 1300 (1921 ميلادي) در «بروكلين» نيويورك به.دنيا امد. وي در سال 1321 (1942 ميلادي) درجه.ي «كوپر يونيون». (Cooper Union) (شاگرد اولي) را به.دست آورده و در سال 1326 (1947 ميلادي) به.سمت استادي «انستيتو پلي.تكنيك بروكلين». (Polytechnic Institute of Brooklyn) نايل آمد؛ در سال.هاي 1327 تا 1336 (1948 تا 1957 ميلادي) در آن دانشگاه تدريس مي.كرد.وي در سال.هاي 1341 تا 1355 (1962 تا 1976 ميلادي) در چند شركت امريكايي نيز اشتغال داشت. در اين سال.ها، استاد مهمان «دانشگاه مينوستا» (University of Minoseta) نيز بود.
در سال 1355 (1976 ميلادي) به.سمت پروفسوري «دانشگاه واترلو» (University of Waterloo) نايل شد. در سال.هاي 1315 تا 1360 (1976 تا 1981 ميلادي) رئيس گروه رياضي «دانشگاه آلبرتا» (University of Alberta) بود. در سال 1360 به.سمت «ايمريتوس پروفسور» (پروفسور بازنشسته) (Emeritus Professor) نايل آمد.
«موراي كلامكين» (Murray Klamkin) به طراح و ويراستار سؤال.هاي رياضي مشهور است. وي ويراستار ماهنامه.ي امريكايي «سيام رويو» (SIAM Review) و مجله.هاي ديگري بوده است.
وي هم.چنين به.خاطر فعاليت.هايش در رقابت.هاي بين.المللي از جمله: «المپياد ملي ايالات متحده.ي امريكا» (United States of America Mathematical Olympiad) (USAMO)، «المپياد جهاني رياضي» (the International Mathematical Olympiad) (IMO) و «رقابت.هاي پوت.نام» (Putnam Competition) شهرت يافته است.
در سال 1371 (1992 ميلادي)، «فدراسيون جهاني رقابت.هاي رياضي امريكا» (The World Federation of National Mathematics Competitions)، جايزه.ي «ديويد هيلبرت» (David Hilbert) را به.خاطر همكاري.هايش در رقابت.هاي رياضي به وي اهدا كرد.










این صفحه را در گوگل محبوب کنید 



[ارسال شده از: فان پاتوق]
[مشاهده در: www.funpatogh.com]
[تعداد بازديد از اين مطلب: 1135]

اضافه شدن مطلب/حذف مطلب


برچسب های کاربران: اثبات نامساوی مثلثاتی در فضای هیلبرت  -  نامساوی های مثلثاتی  -  خواص نامساوی ها المپیاد  -  نامساوی مثلثاتی  -  خواص نامساوی ها  -  اثبات نامساوی های مثلثاتی  -  روش نامساوی مثلثاتی  -  اثبات روابط نامساوی مثلثاتی  -  اثبات نا مساوی مثلثاتی  -  روابط نامساوی ها  -  شکل قضیه نامساوی های مثلث  - 









-






صفحه اول | تمام مطالب | ارتباط با ما
1390© تمامی حقوق این سایت متعلق به سایت واضح می باشد.
سایت واضح آرشیو وب فارسی می باشد و هیچ یک از مطالب درج شده را تایید یا رد نمی کند و مسئولیت استفاده از آنها بر عهده صاحب اثر و کاربران سایت می باشد
این سایت در ستاد ساماندهی وزارت فرهنگ و ارشاد اسلامی ثبت شده است و پیرو قوانین جمهوری اسلامی ایران می باشد. لطفا در صورت برخورد با مطالب و صفحات خلاف قوانین در سایت آن را به ما اطلاع دهید


بستن تبلیغات